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旋转体结构有限元格自动划分法

<计数器p>摘 要：用有限元法对进行结构和自由度体系进行分析，其格的生成是建立有限元模型的重要技术，利用分块分割法对格自动划分，从而形成有限元格模型，完成有限元分析的前处理。

关键词：有限元法；分块分割；格

中图分类号：O241.82；O24221 文献标识码：A

0 前 言

有限元分析技术作为一种运用计算机工具的数值分析方法已经取得了巨大的成功，其应用的领域亦已从力学分析拓展到各类物理场的分析(如温度场，电场，磁场，渗流场，声波场等)，成为结构和多自由度体系分析的有力工具，已被广泛用于产品结构设计、传导、屈曲分析及其它科学研究领域，原来进行有限元分析常常采用手工计算生成有限元模型的输入数据，既耗费时间，又容易出错，特别是大型复杂的结构，其手工输入数据的计算工作量大得惊人。故为减少数据输入的准备工作和提高工作效率，有限元系统都应配有使用方便，功能齐全的前处理程序。有限元格自动生成，是建立有限元模型的重要技术条件。但目前还没有一种通用的格自动自动生成方法。本文采用分块分割法对格自动划分，使用这种方法首先将整体结构分割成若干个适用于格自动划分的参数子域，然后在相应的参数域上生成子域的格，再组合成完整的有限元格模型。

1 传统等参数映射法计算节点坐标

如果子域看作是一个大的等参单元，根据等参单元利用范围广坐标变换公式，可以计算子域的点坐标：

对于二维，三维问题，分别采用6节点三角形，8节点四边形和20节点六面体等参单元。因此Ni是对应单元的形函数，n是等参单元的节点数，Xi，Yi，Zi是等参单元节点坐标，子域可选择由曲面三角形，曲面四边形和曲面六面体。

一般情况下，采用等参数映射法生成结构格模型，这样，等参单元模拟圆时会出现误差。如果圆心角小于90°时，误差较小，但圆心角大于滤头90°时，则误差较大不可忽略。因此用等参数映价格也是相差甚大可以根据客户可以自己选择射法生成旋转面或旋转体的格，需要分割的子域多，故输入计算工作量较大，自动生成程度低。

2 改进分块分割法计算旋转面节点坐标

如图1所示，在Y-Z平面上的参数曲线P为Y=Y(t)；Z=Z(t)，若将曲线P绕Z轴旋转，可得环面方程为：(0≤≤

所以确定旋转面方程主要是确定其母参数方程。

根据不同类型的母线参数方程，即得不同的旋转面。

1)母线为直

若母线是电容砖从点(Y1，Z1)到点(Y2，Z2)的一段直线，

则其方程是：

Y(t)=Y1+t(Y2-Y1) (0≤t≤1)

Z(t)=Z1+t(Z2-Z1)

2)母线为一段圆弧

若圆弧的圆心为(a,b)，半径为R，则母线方程是：

Y(工程上有许多材料没有明显的屈服点t)=a+Rcost (t1≤t≤t2)

Z(t)=b+Rsint

3)母线是双曲线

若母线是双曲线，则其参数方程是：

Y(t)=acht (t1≤t≤t2)

Z(t)=bsht

4)母线是任意曲线

若母线是平面上的一条任意曲线，采用二次Bezier曲线来拟合其母线。如图2所示，在旋转面母线上选取三点P1，P2和P3，其中P1，P3是母线的两个端点，P2一般选取母线中点或母线上曲率最大的点，令V1=P1，V3=P3，为使拟合的Bezier曲线通过P2点，控制多边形的另一点V2，可按下式计算：

P2(t2)=(1-t２)2V1+2t2(1-t2)V２+t2V3

则用控制顶点为V1：(Y1，Z1)，V2：(Y2，Z2)和V3：(Y3，Z3)的二次Bezier曲线拟合旋转面的母线，其母线上对应参数t的分割点坐标为：

Y(t)=(1为大家解开这个问题！-t)2Y1+2t(1-t)Y2+t2Y3 (t1≤t≤t2)

Z(t)=(1-t)2Z1+2t(1-t)Z2+t2Z3

对于几何形状复杂的母线，可采用三次Bezier曲线或分段Bezier曲线拼接拟合。格划分时，首先对参数进行分割，然后用分割点的参数求得旋转面上对应点的坐标，以t和θ为分割参数。

参数t的分割可根据曲线上点的曲率半径大小确定分割段数和分割点参数ti

参数θ的分割为:

θj=360j/N2(j=0，1，…，N2)

若母线绕Z轴从角θ1旋转到θ2，则：

θj+1=θ1+j (θ2-θ1) /N2 (j=0，1，…，N2)

其中N2是沿圆周方向的分割段数。

则在旋转面上对应于参数ti,θj的分割点坐标为：

Xij=Y(ti)cosθj

Yij=Y(ti)sinθj

Zij=Z(ti)

3 改进分块分割法计算旋转体节点坐标

旋转体是由一平面绕该平面中的一个轴旋转而产生的曲面立体。通常可理解为轴对称问题，它的节点坐标与旋转面节点坐标的计算方法类似。当然旋转体的母线可以是一段圆弧，双曲线，直线和任意曲线。如图3所示，设曲线C1和C2分别为：

Y′=Y′(ti′)

Z′=Z′(ti′)

Y″=Y″(ti″)

Z″=Z″(ti″)

m，n分别为根据母线曲率半径大小把母线成正比例分割的参数

旋转体在Y-Z平面上的某点坐标可以这样计算：

y(uj)=y′(ti′)+uj［y″(ti″)-y′(ti′)］

Z(uj)=Z′(ti′)+uj［Z″(ti″)-Z′(ti′)］

平面ABCD绕Z轴从θ1旋转到θ2，则旋转体上对应参数ti，uj和θk的分割点坐标为：

Xijk=y(uj)cosθk

Yijk=y(uj)sinθk

Zijk=Z(uj)

其中N1，N2，N3分别是母线C1壁厚和圆周方向的分割段数。

4 计算实例

一个复杂的结构，用这种分块分割法生成有限元格，生成节点坐标，并在各个子域内生成，如图4所示，是格自动生成的例子，为有限元计算提供了条件，也简化了输入数据。

用等参数映射法生成旋转面和旋转体格时，为减少误差，必须通过增加子域来提高节点坐标的计算精度，这样将导致输入数据大幅度增加。但用参数方程表示旋转面和旋转体，由分割点参数计算对应节点坐标，只需要知道母线上3个点的坐标及旋转角度，因此输入数据少，自动生成程度高。

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